|λI-A|=
λ -1 0
0 λ -1
6 11 λ+6
= (λ+3)(λ+1)(λ+2) = 0 解得λ = -3，-1，-2 将特征值-3代入特征方程(λI-A)x=0
-3 -1 0
0 -3 -1
6 11 3
第3行, 减去第1行×-2
-3 -1 0
0 -3 -1
0 9 3
第3行, 减去第2行×-3
-3 -1 0
0 -3 -1
0 0 0
第2行, 提取公因子-3
-3 -1 0
0 1 13
0 0 0
第1行, 提取公因子-3
1 13 0
0 1 13
0 0 0
第1行, 加上第2行×(-13)
1 0 -19
0 1 13
0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 -19 0
0 1 13 0
0 0 1 1
第1行,第2行, 加上第3行×19,(-13)
1 0 0 19
0 1 0 -13
0 0 1 1
第4列, 乘以9
1 0 0 1
0 1 0 -3
0 0 1 9
得到属于特征值-3的特征向量(1,-3,9)T 将特征值-1代入特征方程(λI-A)x=0
-1 -1 0
0 -1 -1
6 11 5
第3行, 减去第1行×-6
-1 -1 0
0 -1 -1
0 5 5
第3行, 减去第2行×-5
-1 -1 0
0 -1 -1
0 0 0
第2行, 提取公因子-1
-1 -1 0
0 1 1
0 0 0
第1行, 提取公因子-1
1 1 0
0 1 1
0 0 0
第1行, 加上第2行×-1
1 0 -1
0 1 1
0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 -1 0
0 1 1 0
0 0 1 1
第1行,第2行, 加上第3行×1,-1
1 0 0 1
0 1 0 -1
0 0 1 1
得到属于特征值-1的特征向量(1,-1,1)T 将特征值-2代入特征方程(λI-A)x=0
-2 -1 0
0 -2 -1
6 11 4
第3行, 减去第1行×-3
-2 -1 0
0 -2 -1
0 8 4
第3行, 减去第2行×-4
-2 -1 0
0 -2 -1
0 0 0
第2行, 提取公因子-2
-2 -1 0
0 1 12
0 0 0
第1行, 提取公因子-2
1 12 0
0 1 12
0 0 0
第1行, 加上第2行×(-12)
1 0 -14
0 1 12
0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 -14 0
0 1 12 0
0 0 1 1
第1行,第2行, 加上第3行×14,(-12)
1 0 0 14
0 1 0 -12
0 0 1 1
第4列, 乘以4
1 0 0 1
0 1 0 -2
0 0 1 4
得到属于特征值-2的特征向量(1,-2,4)T 得到特征向量矩阵P =
1 1 1
-3 -1 -2
9 1 4
并且有P-1AP = Λ = diag(-3,-1,-2)
扩展资料：
判断矩阵是否可相似对角化的条件：
(1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量;
(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r（λE-A）=k
(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化;
(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。
参考资料：百度百科-可对角化矩阵
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2024-10-21 广告
|λI-A|
=
λ -1 0
0 λ -1
6 11 λ+6
= (λ+3)(λ+1)(λ+2)
= 0
解得λ = -3，-1，-2
将特征值-3代入特征方程(λI-A)x=0
-3 -1 0
0 -3 -1
6 11 3
第3行, 减去第1行×-2
-3 -1 0
0 -3 -1
0 9 3
第3行, 减去第2行×-3
-3 -1 0
0 -3 -1
0 0 0
第2行, 提取公因子-3
-3 -1 0
0 1 13
0 0 0
第1行, 提取公因子-3
1 13 0
0 1 13
0 0 0
第1行, 加上第2行×(-13)
1 0 -19
0 1 13
0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 -19 0
0 1 13 0
0 0 1 1
第1行,第2行, 加上第3行×19,(-13)
1 0 0 19
0 1 0 -13
0 0 1 1
第4列, 乘以9
1 0 0 1
0 1 0 -3
0 0 1 9
得到属于特征值-3的特征向量
(1,-3,9)T
将特征值-1代入特征方程(λI-A)x=0
-1 -1 0
0 -1 -1
6 11 5
第3行, 减去第1行×-6
-1 -1 0
0 -1 -1
0 5 5
第3行, 减去第2行×-5
-1 -1 0
0 -1 -1
0 0 0
第2行, 提取公因子-1
-1 -1 0
0 1 1
0 0 0
第1行, 提取公因子-1
1 1 0
0 1 1
0 0 0
第1行, 加上第2行×-1
1 0 -1
0 1 1
0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 -1 0
0 1 1 0
0 0 1 1
第1行,第2行, 加上第3行×1,-1
1 0 0 1
0 1 0 -1
0 0 1 1
得到属于特征值-1的特征向量
(1,-1,1)T
将特征值-2代入特征方程(λI-A)x=0
-2 -1 0
0 -2 -1
6 11 4
第3行, 减去第1行×-3
-2 -1 0
0 -2 -1
0 8 4
第3行, 减去第2行×-4
-2 -1 0
0 -2 -1
0 0 0
第2行, 提取公因子-2
-2 -1 0
0 1 12
0 0 0
第1行, 提取公因子-2
1 12 0
0 1 12
0 0 0
第1行, 加上第2行×(-12)
1 0 -14
0 1 12
0 0 0
增行增列，求基础解系
1 0 -14 0
0 1 12 0
0 0 1 1
第1行,第2行, 加上第3行×14,(-12)
1 0 0 14
0 1 0 -12
0 0 1 1
第4列, 乘以4
1 0 0 1
0 1 0 -2
0 0 1 4
得到属于特征值-2的特征向量
(1,-2,4)T 得到特征向量矩阵P =
1 1 1
-3 -1 -2
9 1 4
并且有P-1AP = Λ = diag(-3,-1,-2)
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