已知f（x）=ax²+x+lnx在（1,3）上单调递增，求a的取值范围；若在（1,3）上单调递减，求a的取值范围
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f'(x)=2ax+1+(1/x)
f(x)在(1,3)上单增的充要条件是:
2ax+1+(1/x)≥0在(1,3)上恒成立
即2a≥-(1/x)-(1/x)²在(1,3)上恒成立
设t=1/x,t∈(1/3,1)
g(t)=-t-t²=-(t+(1/2))²+(1/4),在(1/3,1)上单减
它在(1/3,1)上的值域是(-2,-4/9)
即-(1/x)-(1/x)²在(1,3)上的值域是(-2,-4/9)
得 2a≥-4/9,即a≥-2/9
所以 a的取值范围是a≥-2/9
f(x)在(1,3)上单增的充要条件是:
2ax+1+(1/x)≥0在(1,3)上恒成立
即2a≥-(1/x)-(1/x)²在(1,3)上恒成立
设t=1/x,t∈(1/3,1)
g(t)=-t-t²=-(t+(1/2))²+(1/4),在(1/3,1)上单减
它在(1/3,1)上的值域是(-2,-4/9)
即-(1/x)-(1/x)²在(1,3)上的值域是(-2,-4/9)
得 2a≥-4/9,即a≥-2/9
所以 a的取值范围是a≥-2/9
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