Question

为什么直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半？

Answer 1

直角三角形斜边中线定理

如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D

∴ AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）

以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'

∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）

又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理）

∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°

又∵∠BAC=90°

∴∠BAC=∠BAC’

∴C与C’重合（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与C’重合）

∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理

Answer 2

直角三角形斜边中线等于斜边的一半。
设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。
【证法1】
延长AD到E，使DE=AD，连接CE。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD，
又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），
 
 
AD=DE，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴AB=CE，∠B=∠DCE，
∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，
∴△ABC≌△CEA（SAS）
∴BC=AE，
∵AD=DE=1/2AE，
∴AD=1/2BC。
【证法2】
取AC的中点E，连接DE。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD=1/2BC，
∵E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）
∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）
∴DE垂直平分AC，
∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
【证法3】
延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD，
又∵AD=DE，
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠BAC=90°，
∴四边形ABEC是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形），
∴AE=BC（矩形对角线相等），
∵AD=DE=1/2AE，
∴AD=1/2BC。

Answer 3

将直角三角形作另一全等直角三角形
拼成一个矩形
则三角形的斜边等矩形的对角线
由矩形的性质可得
对角线相等且互相平分
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

Answer 4

如图，https://gss0.baidu.com/7LsWdDW5_xN3otqbppnN2DJv/%BA%D3%CE%F7%CF%C8%C9%FA/pic/item/dd41171b84e0d1eeae5133dd.jpg
ΔABC是
直角三角形
，作AB的
垂直平分线
n交BC于D
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
以DB为
半径
，D为
圆心
画弧，与BC在D的另
一侧
交于C'
∴DC’=AD=BD
∴∠BAD=∠BDA
∠C’AD=∠AC’D
（等边对等角）
又∵∠BAD+∠BDA+∠C’AD+∠AC’D
=180°（三角形内角和定理）
∴∠BAD+∠C’AD=90°
即：∠BAC’=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠BAC=∠BAC’
∴C与C’重合
（也可用垂直公理证明
：假使C与C’不重合
由于CA⊥AB，C’A⊥AB
故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直
这就与垂直公理矛盾
∴
假设
不成立
∴C与C’重合）
∴DC=AD=BD
∴AD是BC上的
中线
且AD=BC/2
这就是直角三角形
斜边
上的
中线定理
证法2：如图https://gss0.baidu.com/7LsWdDW5_xN3otqbppnN2DJv/%BA%D3%CE%F7%CF%C8%C9%FA/pic/item/dd41171b9a68c3eeae513325.jpg
ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中线，作AB的
中点
E，连接DE
∴BD=CB/2，DE是ΔABC的
中位线
∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）
∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行，同位角相等）
∴DE⊥AB
∴n是AB的垂直平分线
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
∴AD=CB/2
我是老师
谢谢采纳

Answer 5