Question

问一道关于相似矩阵的证明题（线性代数）

设A,B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵。证明：对任意常数t,tE-A与tE-B相似。

Answer 1

A与B相似，这意味着必存在一个可逆矩阵P使得A=P*B*P^(-1)。
这样的话，对于任意常数t，我们有：
P*(tE-B)*P^(-1)
=P*tE*P^(-1)-P*B*P^(-1)
=t(P*E*P^(-1))-A
=t(P*P^(-1))-A
=tE-A
于是tE-A=P*(tE-B)*P^(-1)，根据相似的定义可以知道对任意常数t，tE-A与tE-B相似。