Question

一个函数方程里含有自身的导数，怎么求导？

Answer 1

就是把y当成x的函数即可。

y^2+xy+3x=9

两边对x求导

y^2这一项先对t^2求导，得2y，再对y求导，得到y'，也就是2y*y'

xy这一项按照乘积求导=x'y+xy'=y+xy'

3x求导=3，9求导=0

2y*y'+y+xy'+3=0【3】

（2y+x）y'=-3-y【2】

y'=（-3-y）/（2y+x）【1】

另一个同理：

y^3=3y^2*y'

y^2=2y*y'

xy=x'y+xy'=y+xy'

x^2=2x

再整理成关于y'的等式就行了。

解

能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。如f(x)=x－1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解。

函数方程与代数方程、微分方程不同，并没有普遍的解法。所以这个分支也没能发展起来。如上述的解为Gamma函数和初等函数的方程的解法完全不同。

对于二元函数方程，对其变量赋予特殊值的做法较多。

以上内容参考：百度百科-函数方程

Answer 2

就是把y当成x的函数就行了。
y^2+xy+3x=9
两边对x求导
y^2这一项先对t^2求导,得2y,然后再对y求导，得到y'
也就是2y*y'
xy这一项按照乘积求导=x'y+xy'=y+xy'
3x求导=3，9求导=0
2y*y'+y+xy'+3=0【3】
(2y+x)y'=-3-y【2】
y'=(-3-y)/(2y+x)【1】
注意，如果你要求二阶导数的话，应该在【3】的左边继续求，而不要将【1】代入，这样最麻烦。

另一个同理：
y^3=3y^2*y'
y^2=2y*y'
xy=x'y+xy'=y+xy'
x^2=2x
再整理成关于y'的等式就行了。

Answer 3

这是微分方程，用微分方程的解题方法，种类太多了，举个例子如下图