Question

求幂级数的和函数，并求级数的和

求幂级数的和函数，并求级数的和如图，需要详细解答过程

Answer 1

解：设S(x)=∑x^(n+1)/[n(n+1)]。连续两次由S(x)对x求导，有S''(x)=∑x^(n-1)。
当丨x丨<1时，∑x^(n-1)=1/(1-x)。∴S'(x)=∫(0,x)dx/(1-x)=-ln(1-x)。
S(x)=-∫(0,x)ln(1-x)dx=(1-x)ln(1-x)+x。
又，x=±1时，级数∑1/[n(n+1)]、-∑(-1)^n/[n(n+1)]均收敛。∴S(x)的收敛域为x∈[-1,1]。
令x=-1，∴∑(-1)^n/[n(n+1)]=1-2ln2。
供参考。