Question

概率论，概率密度问题

概率论，概率密度问题第二问这些x范围是如何划分的？有必要把x=4单独拿到x≥4这一范围吗？

Answer 1

解：（1）密度函数在积分区域上的积分总是等于1，于是：定积分 （x从0到π） asin(x) dx = -acos(x) | x从0到π = 2a = 1，于是a = 1/2；（2）直接用定义， EX = 定积分 （x从0到π）axsin(x) dx = 定积分 （x从0到π）(-ax) dcos(x) = -axcos(x) | x从0到π + 定积分 （x从0到π）acos(x) dx = aπ + 0 = aπ = π/2；（3） EX^2 = 定积分 （x从0到π）ax^2 sin(x) dx = 定积分 （x从0到π）(-ax^2) dcos(x) = (-ax^2)cos(x) | x从0到π + 定积分 （x从0到π）axcos(x) dx = aπ^2 + 定积分 （x从0到π）ax dsin(x) = aπ^2 - 定积分 （x从0到π）asin(x) dx = aπ^2 - 1 = π^2/2 - 1，于是 DX = π^2/2 - 1 - π^2/4 = π^2/4-1；（4）分布函数定义： F(x) = 定积分 （t从负无穷到x）f(x) dx = 0, if x<=0; = 定积分 （t从0到x）asin(x) dx = (1-cos(x))/2, if 0π.