Question

二重积分 极坐标方法求解

Answer 1

两个圆方程的极坐标为：

r1=1

r2=2cosθ

则，两个圆的交点为

r1=r2.

可知 cosθ=1/2.  θ=±π/3

注意到图形是关于极轴对称的，所以，-π/3的部分等于π/3的部分

同时，阴影部分其实是两个区域组成，也就是那条直线的左边(I区域）和右边（II区域），右边就是单位圆部分。

所以可以直接用:答案前一部分表示。

左边为圆r2的部分，则使用后一部分表示。积分区域

r: 0→2cosθ

θ： π/3→π/2

区域间上面标识I,II区域

Answer 2

两圆方程联立解得交点的横坐标x=1/2，由几何关系知交点与原点连线的夹角为π/3，将此区域分为两部分，对于第二部分(π/3，π/2)来说，由圆的方程x^2+y^2=2x，利用极坐标代换x=pcosθ,y=psinθ,带入得p^2=2pcosθ,即p=2cosθ,2cosθ表示原点到第二个圆上的点的距离。

Answer 3