Question

f(x)=sinx 2cosx,x∈[0,½π],求值域

Answer 1

很简单
解：f(x)=(sinx-1)/√(3-2cosx-2sinx)
上式可化为
f(x)=-(1-sinx)/√[(1-cosx)²+(1-sinx)²] 根据-1≤sinx≤1
f(x)=-1/√{1+[(1-cosx)/(1-sinx)]²}
上式焦点就是求 g(x)=(1-cosx)/(1-sinx)的值域了
根据万能公式 sinx=(2tanx/2)/[1+(tanx/2)²]
cosx=[1-(tanx/2)²]/[1+(tanx/2)²]
由0≤x≤360度 得到 0≤x/2≤180度 从而tanx/2 的值域是实数集
g(x)=(1-cosx)/(1-sinx)可以化为
[g(x)-2](tanx/2)²-2g(x)tanx/2+g(x)=0
由于tanx/2的值域是实数，则上式必有解
△=[2g(x)]²-4[g(x)-2]g(x)≥0
求得 g(x)≥0,这里需要知道g(x)≠2
特别当g(x)=2时，得到2sinx-cosx=1 得到 √3sin(x+φ)=1故g(x)=2时也成立
故g(x)的值域是[0,+∞)同理[g(x)]²的值域是[0,+∞)
f(x)=1/√[1+(g(x))²]的外函数显然是增函数
所以f(x)的值域是[1,+∞)