Question

求连续函数f(x),使它满足积分方程2∫(o,x)f(t)dt+f(x)=×^2

Answer 1

令F(x)=∫_0^x〖f(t)dt〗,则因为f(x)连续，所以F(x)可导。原方程变为：

F'(x)+2F(x)=x^2. 这是一个一阶非齐次常微方程，利用常数变异法可解得，

F(x) = 1/2*x^2 - 1/2*x+1/4+C*exp(-2x); 其中C为任意常数。

从而f(x)=x-1/2-2C*exp(-2x).

再将此式带回原方程确定C值，可得C=-1/2

因此，f(x)=x-1/2+exp(-2x)

含义：

如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。

在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。

Answer 2

这是过程