Question

高中数学椭圆函数求解

Answer 1

①M点位于y=¼√2(x-c) 和x=-c的交点上→M(-c,-½√2c) 代入椭圆方程：

c²/a²+½c²/(a²-c²)=1

a²c²-c⁴+½a²c²=a²(a²-c²)=a⁴-a²c²

2a⁴-5a²c²+2c⁴=0 a²=(5c²±3a²)/4→a²=2c² (a²=½c²舍去）

∴b²=c²

|F₁F₂|=2c →S=½·½√2c·2c=2√2→c²=4→a²=8

x²/8+y²/4=1

②k=1 y=x-2代入x²/8+y²/4=1→x²/8+(x-2)²/4=1

即3x²-8x=0→x₁=0 x₂=8/3→y₁=-2 y₂=2/3

r=½|MN|=½√[(8/3)²+(8/3)²]=4√2/3 圆心(½(8/3+0),½(-2+2/3))→(4/3,-2/3)

圆方程：(x-4/3)²+(y+2/3)²=32/9

Answer 2

(1)a>b>0
F1(-c,),F2(c,0),M(c,b²/a) ,(c>0)
直线MF1的斜率(b²/a-0)/(c-(-c))=√2/4
(√2)b²=ac (1)
由已知面积得: (1/2)·2c·(b²/a)=2√2
b²=(2√2)a (2)
且 a²=b²+c² (3)
由(1)(2)(3) 解得 a=2√2,b=c=2
所以椭圆方程是 x²/8+y²/4=1
(2)k=1且过F1(-2,0),M(x1,y1),N(x2,y2)
直线MN的方程:x-y+2=0
设线段MN的中点D(m,m+2)
由x-y+2=0 且x²/8+y²/4=1
消去y并化简得 3x²+8x=0,两根0,-8/3
m=(-8/3)/2=-4/3
D(-4/3,2/3)
线段MN的中垂线方程 x+y+2/3=0
中垂线与x轴的交点即圆心C(-2/3,0)
|MN|=(√2)·|x1-x2|=(8√2)/3
|DC|=(2√2)/3
圆半径R²=(|MN|/2)²+|DC|²=40/9
所以 所求圆方程是(x+2/3)²+y²=40/9