Question

高中数学直角坐标求解

Answer 1

①。曲线C₁的直角坐标方程为：(x-2)²+y²=4，即C₁是一个园心在(2，0)，半径R=2的园；
M是园上的一个点；点P(x，y)在射线OM上，且∣OM∣-∣OP∣=20；故点P在射线OM的反向
上，∣OM∣=ρ₁=4cosθ； ∣OP∣=ρ₂=x/cosθ; -π/2<θ<π/2;
∣OM∣-∣OP∣=ρ₁-ρ₂=(4cosθ)-(x/cosθ)=20；
去分母得：20cosθ=4cos²θ-x；用cosθ=x/ρ代入得：20x/ρ=(4x²/ρ²)-x;
20ρx=4x²-ρ²x； 消去一个x得：20ρ=4x-ρ²；
用ρ²=x²+y²代入得：20√(x²+y²)=4x-(x²+y²)；
即有 x²+y²+20√(x²+y²)-4x=0，这就是点P的轨迹C₂的直角坐标方程；
②。令y=0，得x²+20x-4x=x²+16x=x(x+16)=0，即有x=-16，(x=0舍去);
故C₂与x轴的交点D的坐标为(-16，0)；过D所做倾角为5π/6=150°的直线L的斜率k=tan150°
=-tan30°=-√3/3; cos150°=-√3/2；sin150°=1/2；故直线L的参数方程为：
x=-16+tcos150°=-16-(√3/2)t； y=0+tsin150°=(1/2)t；
代入C₁的方程得：[-16-(√3/2)t-2]²+[(1/2)t]²=4；
化简得：t²+18(√3)t+320=0；设∣DA∣=t₁，∣DB∣=t₂；故∣DA∣•∣DB∣=t₁t₂=320；

Answer 2

1
ρ^2=4ρcosθ
(x-2)^2+y^2=4
设P(x，y)、M(kx，ky) (k>0)
k^2(x^2+y^2)=20k，(kx-2)^2+k^2y^2=4
4kx=20k，C2：x=5（做出来不相信，用几何画板验证过）
2
D(5，0)，直线l：y=-(x-5)/√3(5pi/6条件多余)
DA*DB=DC*DO=5