Question

Lagrange多项式插值误差及其稳定性

Answer 1

1.截断误差

在进行n次拉格朗日多项式插值时，被逼近函数f（x）与插值函数L_n（x）之差，即

地球物理数据处理基础

上式R_n（x）称之为插值的截断误差。

★定理：若被逼近函数f（x）∈C^n＋1［a，b］，则对于任意x∈［a，b］，存在相应的ξ，使下式成立：

地球物理数据处理基础

其中，ξ是位于min（x，x₀，x₁，…，x_n）与max（x，x₀，x₁，…，x_n）之间的某一数，通常情况下，ξ依赖于x。由于ξ不确定，所以f^（n＋1）（ξ）也得不到，但是我们可以估计f^（n＋1）（ξ）的上界，即

地球物理数据处理基础

上式说明影响截断误差的因素主要有三个：

（1）与M_n＋1有关，且成正比关系；

（2）与 有关，不难看出当计算点位于插值区间中段且越靠近一个节点时，其值越小，因此，应尽量选用节点附近的点作为插值节点以减少截断误差；

（3）与节点个数n有关，由于低阶（n较小）时f^（n）（x）变化不大，n稍大，R_n（x）可能会反而越小；但高阶（n较大）时f^（n）（x）变化很大，因此不能明确反映R_n（x）随n的变化关系。

2.舍入误差及其稳定性

众所周知，实际观测值总是有误差的。另外，用计算机进行数值计算时，计算舍入误差也不可避免，例如 我们即使用最先进的计算机，也不可能保留它的所有小数位。

拉格朗日多项式插值虽然简单易行，但L_n（x）的舍入误差随次数n的增大而急剧增大，因此，对于高阶的Lagrange插值在区间的两端会产生严重畸变，这就是著名的龙格现象。图6－1是用10次拉格朗日插值多项式L₁₀（x）时， 内用11个等距插值点所作的插值。从图上可以看出，在（－0.6，0.6）内能较好地逼近真值；当x靠近区间边界，误差就增大了，而且愈靠近端点时，误差就愈大。

图6－1 Lagrange多项式插值引起的龙格现象

可见，高次的Lagrange插值数值不稳定，通常情况下Lagrange插值多项式次数应小于7。实际计算中，往往采用分段低阶的Lagrange插值，这样不仅舍入误差小，数值稳定性也得到改善，计算量也少。