Question

函数f（x）=lnx—ax（a∈R）有两个零点，求实数a的取值范围

Answer 1

由f（x）表达式可知，x＞0【对数的真数必须＞0】，
∵f'（x）=（1/x）-a，x＞0，
若a≤0，则f'（x）必定＞0，此时f（x）单调递增，不可能有两个不同的零点，
因此必有a＞0。
当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=1/a，
由y=1/x的图像可知，f'（x）在其定义域内是单调递减的，
所以在x∈（0,1/a）上，f'（x）＞0，在x∈（1/a，+∞）上f'（x）＜0。
所以f（x）的单调递增区间是（0,1/a），单调递减区间是［1/a，+∞），
而当x→0+时，f（x）→-∞，
当x→+∞时，f（x）=［（lnx）/x-a］x，
又因为（lnx）/x→（1/x）/1【用洛必达而得】→0（x→+∞），
所以f（x）→ -∞（x→+∞）。
所以要使f（x）有两个零点，只需要f（x）的最大值＞0即可，
也就是f（1/a）＞0，即ln（1/a）-a·（1/a）=ln（1/a）-lne＞0，
得1/a＞e，由于a＞0，所以0＜a＜1/e即为所求。

追问

这个零点个数是怎么确定的

追答

零点是函数图像和x轴的交点的横坐标，所以看函数和x轴有几个交点不就知道有几个零点了吗。这个题里，a≤0的时候，f（x）就像是y=x一样，从头增到尾，不可能和x轴有两个不同的交点吧。a＞0的时候，我们通过对它单调性的判断可知，此时f（x）就像是开口向下的抛物线一样，两端向下无限延伸，那么要使函数图像与x轴有两个交点，图像最上面的那一点不应该要在x轴上面吗？也就是f（x）最大值＞0。【若还不清楚这些都是怎样的，跟着我的叙述在纸上画一画就好了。】