Question

勾股定理的证明

Answer 1

【证法1】（梅文鼎证明）
　　做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b
，斜边长为c.
把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.
过C作AC的延长线交DF于点P.
　　∵
D、E、F在一条直线上,
且RtΔGEF
≌
RtΔEBD,
　　∴
∠EGF
=
∠BED，
　　∵
∠EGF
+
∠GEF
=
90°，
　　∴
∠BED
+
∠GEF
=
90°，
　　∴
∠BEG
=180°―90°=
90°
　　又∵
AB
=
BE
=
EG
=
GA
=
c，
　　∴
ABEG是一个边长为c的正方形.
　　∴
∠ABC
+
∠CBE
=
90°
　　∵
RtΔABC
≌
RtΔEBD,
　　∴
∠ABC
=
∠EBD.
　　∴
∠EBD
+
∠CBE
=
90°
　　即
∠CBD=
90°
　　又∵
∠BDE
=
90°，∠BCP
=
90°，
　　BC
=
BD
=
a.
　　∴
BDPC是一个边长为a的正方形.
　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
　　设多边形GHCBE的面积为S，则
　　,
　　∴
.
　　【证法2】（项明达证明）
　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）
，斜边长为c.
再做一个边长为c的正方形.
把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
　　F作FN⊥PQ，垂足为N.
　　∵
∠BCA
=
90°，QP∥BC，
　　∴
∠MPC
=
90°，
　　∵
BM⊥PQ，
　　∴
∠BMP
=
90°，
　　∴
BCPM是一个矩形，即∠MBC
=
90°.
　　∵
∠QBM
+
∠MBA
=
∠QBA
=
°，
　　∠ABC
+
∠MBA
=
∠MBC
=
90°，
　　∴
∠QBM
=
∠ABC，
　　又∵
∠BMP
=
90°，∠BCA
=
90°，BQ
=
BA
=
c，
　　∴
RtΔBMQ
≌
RtΔBCA.
　　同理可证RtΔQNF
≌
RtΔAEF.
　　【证法3】（赵浩杰证明）
　　做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）
，斜边长为c.
再做一个边长为c的正方形.
把它们拼成如图所示的多边形.
　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
　　∴FI=a，
　　∴G,I,J在同一直线上，
　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
　　∠CJB
=
∠CFD
=
90°，
　　∴RtΔCJB
≌
RtΔCFD
，
　　同理，RtΔABG
≌
RtΔADE，
　　∴RtΔCJB
≌
RtΔCFD
≌
RtΔABG
≌
RtΔADE
　　∴∠ABG
=
∠BCJ,
　　∵∠BCJ
+∠CBJ=
90°,
　　∴∠ABG
+∠CBJ=
90°,
　　∵∠ABC=
90°,
　　∴G,B,I,J在同一直线上，
　　【证法4】（欧几里得证明）
　　做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
　　BF、CD.
过C作CL⊥DE，
　　交AB于点M，交DE于点L.
　　∵
AF
=
AC，AB
=
AD，
　　∠FAB
=
∠GAD，
　　∴
ΔFAB
≌
ΔGAD，
　　∵
ΔFAB的面积等于，
　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM
　　的面积的一半，
　　∴
矩形ADLM的面积
=.
　　同理可证，矩形MLEB的面积
=.
　　∵
正方形ADEB的面积
　　=
矩形ADLM的面积
+
矩形MLEB的面积
　　∴
，即
a^2+b^2=c^2

Answer 2