Question

一道初二数学竞赛几何证明题

已知P为RT三角形ABC的斜边BC上一点,Q为PC中点,过P点作BC的垂线,交AB于R,H为AR中点,过H向C所在一侧作射线HN垂直AB.证明:射线HN上存在一点G,使AG=CQ,BG=BQ.
抱歉这题没有图,但是可以根据题目自己画出图来，我们老师说这题要用到什么反证法和构造法当中的一个,我解不出来,请各位来帮忙,把具体证明的过程写出来，谢谢了!有追加悬赏.

Answer 1

反证法：假设不存在这样的G点
我们不妨取P与B重合【事实上，只需找出一个反例使得假设不成立即可】，则有CQ=BQ（Q确定，所以为定值），HN为AB中垂线；
由假设知任意G不使AG不等BQ
但知道AG的长的范围是从AH到无穷大，所以必有AH>BQ,否则必可找到一点G使得AH<AG=BQ,而AH=0.5AB<0.5BC=BQ,所以得出矛盾
于是得证

Answer 2

反证:假设存G点
我妨取P与B重合【事实需找反例使假设立即】则CQ=BQ(Q确定所定值)HNAB垂线;
由假设知任意G使AG等BQ
知道AG范围AH穷所必AH>BQ,否则必找点G使AH<AG=BQ,AH=0.5AB<0.5BC=BQ,所矛盾
于证