Question

初中数学竞赛几何证明题

已知点o为等边三角形ABC的内心，直线m过点o，过A、B、C三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点D、E、F。当直线m与BC平行时，BE+CF=AD。当直线m绕点o旋转到与BC不平行时，如图所示情况下，求证：AD+BE=CF

Answer 1

证明： 

连接CO并延长交AB于M，作MN⊥直线m，垂足为N 

因为O是等边三角形ABC的内心 

所以CM是∠ACB的平分线 

根据“三线合一”性质知M是AB的中点 

因为AD⊥直线m，BE⊥直线m，MN⊥直线m 

所以AD//MN//BE 

所以MN是梯形ABED的中位线 

所以2MN＝AD＋BE 

因为CF⊥直线m 

所以CF//MN 

所以△COF∽△MON 

因为等边三角形的内心与重心重合 

所以O是三角形ABC的重心 

所以CO＝2OM 

（参考：http://baike.baidu.com/view/18274.htm#4 ;

重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1） 

所以CF＝2MN 

所以AD＋BE＝CF 

江苏吴云超祝你学习进步

Answer 2

当直线m绕点o旋转到与BC不平行时
你这有问题~~
AD+BE=CO
CO=???CF

Answer 3

先是笨办法,坐标都设出来,然后解析几何列方程解,不算了...毕竟不算是初中内容,虽然学点高中的对初中有好处,但不推荐这种方法.
设角OAD为A,则BOE是60度减A,OEC是60度加A,那么通过正弦定理转化为
SINA+SIN(60-A)=SIN(60+A),之后直接算出相等
有不明白可问我

Answer 4

用比例式来做就行了，自己思考，你的图太不清楚了。