Question

设A为n阶方阵，且A的平方=E，证明：（1）A的特征值只能是1或-1 ；（2）3E-A可逆

Answer 1

(1)设λ是A的特征值
则
λ^2-1
是
A^2-E
的特征值
而
A^2-E=0
所以
λ^2-1=0
所以
λ=1或-1.
故A的特征值只能是1或-1.
(2)
由
A^2=E
得
A(A-3E)
+3(A-3E)
=
-8E
所以
(A+3E)(3E-A)
=
8E
所以
3E-A
可逆,
且
(3E-A)^-1
=
(1/8)(A+3E).

Answer 2

设a为a的一个特征值，x是它对应的一个特征向量
于是
ax=ax
x=ex=a^2(x)=
a(ax)=a(ax)=aax=a^2
x
所以
a^2=1
a=+1或者
a=-1
注
a^2是
a
平方
a^2同样理解