Question

高数求极限的问题，x趋向于0时，[（1+x）^2/x]-e^2]/2的极限

Answer 1

②到③，用了等价无穷小量替换。∵2ln(1+x)/x-2→0，∴e^[2ln(1+x)/x-2]~1+2ln(1+x)/x-2。
∴1+2ln(1+x)/x-2-1=2[ln(1+x)/x-1]。③到④，是分子分母同乘以x而得。
④到⑤，是应用洛必达法则而得。⑤到⑥，分子通分，约去x，即得结果。
【本题可以应用等价无穷小量替换“简洁”求解。x→0时，ln(1+x)~x-x²/2、e^x~1+x，∴(1+x)^(2/x)=e^[(2/x)ln(1+x)]~e^[(2/x)(x-x²/2]=e^(2-x)=e²e^(-x)~e²(1-x)，∴原式=lim(x→0)[e²(1-x)-e²]/x=-e²】供参考。