Question

如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD

Answer 1

延长AD，过点C做AD的垂线CH
∵AC平分∠BAD
∴∠HAC=∠CAE
∴∠AHC=∠AEC
在△AHC和△AEC中
∠HAC=∠CAE
∠AHC=∠AEC
AC=AC（公共边）
∴△AHC≡△AEC（AAS）
∴AH=AE
∴AD=AH-DH=AE-DH
∵AE=½（AB+AD）=½（AB+AE-DH）
∴2AE=AB+AE-DH
∴AE=AB-DH，AE=AB-AE
∴DH=BE
在△CDH和△CBE中
DH=BE
∠CHD=∠CEB
CH=CE
∴△CHD≡△CBE（SAS）
∴∠B=∠CDH
∵∠D+∠CDH=180°
∴∠B+∠D=180°

Answer 2

∠ADC+∠ABC=180°
解：
从AB上取一点F,使AF=AD
AC平分∠BAD有∠DAC=∠FAC
AC公共
∴△DAC≌△FAC
则∠AFC=∠ABC
∵AE=½（AB+AD)有
2AE=AB+AB
2AE=AE+BE+AD
AE=BE+AD
BE=AE-AD=AE-AF=EF
∵CE⊥AB
有∠CEF=∠CEB=90°
CE为公共
∴△CEF≌△CEB
则∠ABC=∠EFC
而∠EFC+∠AFC=180
∠AFC=∠ADC
所以∠ADC+∠ABC=180°