Question

高等数学高手来，求微分方程y''+y=1+x^2的通解。。 详细写出求齐通和非奇特的过程。。

Answer 1

令y*(x)=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+a4*x^4,代入数运方程，得到
(a0+2*a2)+(a1+6*a3)x+(a2+12*a4)x^2+a3*x^3+a4*x^4=1+x^2
比较系数，得到
a0+2*a2=1,
a1+6*a3=0,
a2+12*a4=1,
a3=a4=0.
解得 a2=1,a0=-1,a1=a3=a4=0.
可知y*(x)=x^2-1是方程的一个特解。
对应齐渗毕氏次方程 y"+y=0 的通解为，Y(x)=A*cosx+B*sinx（A和B是任意常数）
所以丛散，方程的通解为
y(x) = Y(x)+y*(x) = A*cosx+B*sinx+x^2-1