Question

求幂级数(n+1)(n+3)x^n的和函数

我想知道我这么做为什么不对，还有正确解法是什么，谢谢

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Answer 1

计算过程如下：

首先设和函数为s(x)，对它求区间(0,x)上的定积分得到

∫s(x)dx = sum((n+3)x^(n+1))， n=1，2，...无穷大

=1/x sum((n+3)x^(n+2))

令t(x)=sum((n+3)x^(n+2))

∫t(x)dx = sum(x^(n+3))，n=1，2，...无穷大

=x^4/(1-x)

所以t(x)=d/dx 

∫t(x)dx = dx^4/(1-x)/dx 

= (4x^3(1-x) +x^4)/(1-x)^2

=(4x^3 -3x^4)/(1-x)^2

∫s(x)dx =1/x t(x)= (4x^2 -3x^3)/(1-x)^2

然后在对上式子求导数得到：s(x) = d(4x^2 -3x^3)/(1-x)^2/dx

幂级数的意义：

幂级数是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。

幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

第一行就错了，x^4/(1-x)是x^(n+3)的和函数，不是它导数的和函数

首先设和函数为s(x)，对它求区间(0,x)上的定积分得到
∫s(x)dx = sum((n+3)x^(n+1)), n=1,2,...无穷大
=1/x sum((n+3)x^(n+2))
令t(x)=sum((n+3)x^(n+2))
对t(x)在(0,x)上求定积分得到

∫t(x)dx = sum(x^(n+3)), n=1,2,...无穷大
=x^4/(1-x)
所以t(x)=d/dx ∫t(x)dx = dx^4/(1-x)/dx

= (4x^3(1-x) +x^4)/(1-x)^2
=(4x^3 -3x^4)/(1-x)^2
∫s(x)dx =1/x t(x)= (4x^2 -3x^3)/(1-x)^2
然后在对上式子求导数得到
s(x) = d(4x^2 -3x^3)/(1-x)^2/dx

追问

不好意思，我又来了

我用下面这种方法，得出的结果和你的方法得出的未求导的∫s(x)dx的结果是一样的，是哪里出现问题了呢

追答

错误原因时一样的，你怎么总是把一个等比数列的导数和用等比数列公式求？这显然不满足公式，最后一个等于毫无道理