求微分方程xy'+(1-x)y=xe^2,x趋于0时y(x)的极限为1的特解
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简单计算一下即可，答案如图所示
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y'+(1-x)/x*y =e^2
∫(1-x)/x dx=∫(1/x-1)dx=lnx-x
∫e^2 e^(lnx-x)dx=e^2∫xe^(-x) dx=e^2 [ -xe^(-x)+∫e^(-x)dx]=e^2[-xe^(-x)-e^(-x)]
因此原方程的通解为：y=e^(-lnx+x)(C+e^2[-xe^(-x)-e^(-x)])=e^x/x *(C+e^2[-xe^(-x)-e^(-x)])
x-->0时,为使y有极限,需有：C=e^2
所以有：y=e^x/x *e^2(1-xe^(-x)-e^(-x))=e^2/x *(e^x-x-1)
∫(1-x)/x dx=∫(1/x-1)dx=lnx-x
∫e^2 e^(lnx-x)dx=e^2∫xe^(-x) dx=e^2 [ -xe^(-x)+∫e^(-x)dx]=e^2[-xe^(-x)-e^(-x)]
因此原方程的通解为：y=e^(-lnx+x)(C+e^2[-xe^(-x)-e^(-x)])=e^x/x *(C+e^2[-xe^(-x)-e^(-x)])
x-->0时,为使y有极限,需有：C=e^2
所以有：y=e^x/x *e^2(1-xe^(-x)-e^(-x))=e^2/x *(e^x-x-1)
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