Question

求助，若复数z1,z2满足lz1l＜1，lz2l＜1，证明|(z1-z2)/(1-z1z2)|＜1

其中分母位置的z1是共轭复数

Answer 1

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不要恶意删除，不要追问，问题解析清楚，
有疑惑可以在评论中交流，

简单就是幸福，希望你不要拿到答案就跑路

Answer 2

设z1=a+bi，z2=c+di，其中a^2+b^2<1，c^2+d^2<1
(z1-z2)/(1-z1'z2)
=[(a-c)+(b-d)i]/[1-(a-bi)(c+di)]
=[(a-c)+(b-d)i]/[(1-ac-bd)+(bc-ad)i]
|(z1-z2)/(1-z1'z2)|^2
=|z1-z2|^2/|1-z1'z2|^2
=|(a-c)+(b-d)i|^2/|(1-ac-bd)+(bc-ad)i|^2
=[(a-c)^2+(b-d)^2]/[(1-ac-bd)^2+(bc-ad)^2]
=(a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd)/(1+a^2c^2+b^2d^2-2ac-2bd+b^2c^2+a^2d^2)
=(a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd)/[1+(a^2+b^2)(c^2+d^2)-2ac-2bd]
因为(a^2+b^2+c^2+d^2)-[1+(a^2+b^2)(c^2+d^2)]
=(a^2+b^2)-(a^2+b^2)(c^2+d^2)+(c^2+d^2)-1
=[(a^2+b^2)-1][1-(c^2+d^2)]
又因为(a^2+b^2)-1<0，1-(c^2+d^2)>0
所以(a^2+b^2+c^2+d^2)<[1+(a^2+b^2)(c^2+d^2)]
(a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd)<[1+(a^2+b^2)(c^2+d^2)-2ac-2bd]
(a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd)/[1+(a^2+b^2)(c^2+d^2)-2ac-2bd]<1
即|(z1-z2)/(1-z1'z2)|^2<1
|(z1-z2)/(1-z1'z2)|<1