操作:如图1,三角形ABC是正三角形,三角形BDC是顶角,角BDC=120°的等腰三角形
操作:如图1,三角形ABC是正三角形,三角形BDC是顶角BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接M、N.探究...
操作:如图1,三角形ABC是正三角形,三角形BDC是顶角BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接M、N.
探究线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.
图在;
(初一题,答案别太深奥,一定给分) 展开
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延长AC至E,使得CE=BM,连接DE,
∵△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,
∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°,
又BD=DC,且∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°,
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°,
∴∠MBD=∠ECD=90°.
∴△MBD≌△ECD(SAS),
∴MD=DE,∠BDM=∠CDE,BM=CE,
又∵∠BDC=120°,∠MDN=60°,
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°,
∴∠CDE+∠NDC=60°,即∠NDE=60°,
∵∠MDN=∠NDE=60°.
∴△DMN≌△DEN(SAS),
∴MN=EN.
又NE=NC+CE,BM=CE,
∴MN=BM+NC;
∵△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,
∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°,
又BD=DC,且∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°,
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°,
∴∠MBD=∠ECD=90°.
∴△MBD≌△ECD(SAS),
∴MD=DE,∠BDM=∠CDE,BM=CE,
又∵∠BDC=120°,∠MDN=60°,
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°,
∴∠CDE+∠NDC=60°,即∠NDE=60°,
∵∠MDN=∠NDE=60°.
∴△DMN≌△DEN(SAS),
∴MN=EN.
又NE=NC+CE,BM=CE,
∴MN=BM+NC;
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