Question

高数定积分比较大小（奇偶性的应用）？

问题：如何判断格式中三角函数的奇偶性？如果仅仅是sinx、cosx我会分辨，但是又是x+sinx或者sinx平方又或者加减乘除后我就不会判断了，求解答！！！！

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Answer 1

首先，用-x代替x，得到的式子是原来的相反数，就是奇函数，得到的式子和原来一样，就是偶函数。

比如x²sin³x，用-x代替x，得到(-x)²sin³(-x)=x²·(-sin³x)=-x²sin³x，是原来式子的相反数，它就是奇函数

再比如，x+sinx，用-x代替x，得到-x+sin(-x)=-x-sinx，也是奇函数

然后注意，sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，至于为什么，请复习三角形函数诱导公式相关知识

因为我不确定你是判断奇偶函数不会，还是三角函数不会。

追问

我奇偶性有点拿捏不准，三角函数会，大神帮我看下我做的题。奇偶性判断对不？

追答

判断对了，不过像里面写的奇×奇×奇=奇这些结论，建议你不光要记住，还要理解。

Answer 2

奇函数±奇函数=奇函数
偶函数±偶函数=偶函数
奇函数×奇函数=偶函数
奇函数×偶函数=奇函数
偶函数×偶函数=偶函数
奇函数±偶函数是非奇非偶函数（奇函数和偶函数都是非零函数时）
一种简单的记法就是把奇函数看成负数，偶函数看成正数，上面的性质就变成了实数的四则运算

追问

奇函数/偶函数=？

追答

除法和乘法一样（不考虑0点）

Answer 3

这几张图涉及到几个问题，第一就是奇偶性的判断，第二就是积分的性质。
判断奇偶性，写出fx和f-x如果fx=f-x，那么是偶函数，如果fx=-f-x,那么是奇函数。
比如P2中fx=（sinx+x）/（1+x2）,f-x=(sin-x+(-x))/(1+(-x))2=-(sinx+x）/(1+x2)=-fx.所以是奇函数。
第二个问题就是积分的性质，如果积分区间是关于原点对称，比如P2P3中都是从-pi/2积分到pi/2.
这就是积分区间关于原点对称，这时候有性质。如果被积函数是奇函数，那么积分=0.也就是P3里第一个式子 sinx 的立方积分直接等于0.