Question

无穷多个无穷大量乘积不是无穷大量,有没有例子？

Answer 1

首先要严格定义什么叫无穷多个无穷大量相乘，因为这表述涉及了累次极限，累次极限与顺序有关。

如果把无穷多个无穷大相乘定义为lim(n→∞)｛lim(N→∞)X1nX2n…XNn｝，且任意确定的k，都有lim(n→∞)Xkn=∞，只需让后面的那些XNn都是猪队员趋于无穷大的速度越来越慢拖相乘的后腿就行了（你有无穷多个猪队友，它们的力量完全有可能把结果拖成狗），比如：

X1n：1，2，3，4，5，6，…，n，…

X2n：1，1/2，3，4，5，6，…，n，…

X3n：1，1，1/9，4，5，6，…，n，…

X4n：1，1，1，1/64，5，6，…，n，…

X5n：1，1，1，1，1/625，6，…，n，…

…

每个Xkn都是无穷大量，然而∏XNn=1，如果你愿意甚至稍加修改还可以构造成相乘后是无穷小的。

比较

事实上，(0,1)上的实数可以和正整数的所有子集的集合一一对应：把这些实数写成二进制，小数点后第n位为1，对应于n在子集中；为0则对应不在子集中。这样[0,1)上的实数就和正整数的子集有了一一对应，因此实数和正整数集的所有子集的个数一样多。

也可以证明前面所说曲线可以和实数集的幂集有一一对应关系。我们把前面说的所有曲线看成一个集合，他的所有子集的个数又将比这个集合大。这个过程可以一直进行下去，得到越来越大的无穷大。