Question

向量定理：设m个n维向量，若m>n时向量组线性相关。这个要怎么证明呢？

Answer 1

即是要证明: 向量的个数大于向量的维数时, 向量组线性相关
证明:
设 α1,...,αm 是n维列向量
令 A=(α1,...,αm).
则 r(A) ≤ min{m,n} [ 矩阵的秩不超过它的行数和列数 ]
因为 m>n
所以 r(A) ≤ n < m.
所以 r(α1,...,αm) =r(A)<m. [ 矩阵的秩等于其列秩和行秩 ]
即 向量组α1,...,αm线性相关.

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Answer 2

证明：n维向量的最大线性无关向量组的个数为n,因为n＜m,所以向量组矩阵的秩最大为n,一定存在m个不全为0的数满足向量线性相关的定义式。例如，令前n个数=0，后（m-n）个数不等于0，就是一组k值