Question

高等代数理论基础50：线性变换的值域与核

Answer 1

定义：设 是线性空间V的一个线性变换, 的全体像组成的集合称为 的值域,记作

所有被 变成零向量的向量组成的集合称为 的核,记作

,

注：线性变换的值域与核都是V的子空间

故 对加法与数量乘法封闭,且 非空

故 是V的子空间

由

即 对加法与数量乘法封闭

又 ,故

即 非空

故 是V的子空间

的维数称为 的秩, 的维数称为 的零度

例：在线性空间 中,令 ,则 的值域为 , 的核为

定理：设 是n维线性空间V的线性变换, 是V的一组基,在这组基下 的矩阵是A,则

1. 的值域 V是由基像组生成的子空间,即

2. 的秩=A的秩

证明：

注：定理说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变

定理：设 是n维线性空间V的线性变换,则 的一组基的原像及 的一组基合起来即 的一组基,故

的秩+ 的零度=n

证明：

推论：有限维线性空间的线性变换是单射的充要条件为它是满射

证明：

注： 与 的维数之和为n,但 不一定是整个空间

例：设 是一个 矩阵, ,证明： 相似于一个对角矩阵

证：