Question

已知数列{an}满足 a1=2，a2=8，an+2=4an+1-4an．？

Answer 1

解题思路：（1）由a n+2=4a n+1-4a n可得a n+2-2a n+1=2（a n+1-2a n），即 a n+2 −2 a n+1 a n+1 −2 a n ＝2 可证．
（2）由（1）利用等比数列的通项可知，a n+1-2a n=2 n+1，则 a n+1 2 n+1 − a n 2 n ＝1 ，结合等差数列的定义可知 { a n 2 n } 是等差数列
（3）由 a n 2 n ＝n ，可得a n=n•2 n，考虑利用错位相减求和．
（1）∵an+2=4an+1-4an∴an+2-2an+1=2（an+1-2an），
即
an+2−2an+1
an+1−2an＝2，又 a2-2a1=4
∴数列{an+1-2an}是以4为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知，an+1-2an=4•2n-1=2n+1，∴
an+1
2n+1−
an
2n＝1，又
a1
2＝1，
∴数列{
an
2n}是首项为1，公差为1的等差数列，即正整数列．
（3）∵
an
2n＝n，∴an=n•2n，又 S=a1+a2+a3+…+a2010，
∴S=2+2•22+3•23+…+2010•22010①2S=22+2•23+3•24+…+2010•22011②
①-②得-S=2+22+23+…+22010-2010•22011=22011-2-2010•22011
∴S=2009•21011+2．
,2,已知数列{a n}满足 a 1=2，a 2=8，a n+2=4a n+1-4a n．
（1）证明{a n+1-2a n}是等比数列；
（2）证明 { a n 2 n } 是等差数列；
（3）设S=a 1+a 2+a 3+…+a 2010，求S的值．