Question

球坐标系的参数范围是什么？

Answer 1

范围如下：

球坐标系的三个参数为ρ，θ，φ。其中θ和φ（你的问题上的ψ）有时候因为习惯不同，使用的会有所不同。

这里按照同济的《高等数学》里θ和φ的意思来说明，也是最常见的。（如果和描述不一样，反过来即可。
θ是点在xOy平面上的投影与原点的连线和x轴正方向所成夹角，也就是一般说的极坐标的θ，取值范围为[0, 2π)或[0, 2π]。
φ（问题所问的）是点与原点所成连线和z轴正半轴所成夹角，取值范围为[-π, π] (必须全闭，否则顶点取不到)。

球坐标系是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。

定义：

在数学里，球坐标系（英语：Spherical coordinate system）是一种利用球坐标。

表示一个点 p 在三维空间的位置的三维正交坐标系。图1显示了球坐标的几何意义：原点到 P 点的距离 r ，原点到点 P 的连线与正 z-轴之间的天顶角。

以及原点到点 P 的连线，在 xy-平面的投影线，与正 x-轴之间的方位角。

例解：

假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数(r，θ，φ)来确定，其中r为原点O与点P间的距离；θ为有向线段OP与z轴正向的夹角；φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影。

这样的三个数r，θ，φ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，θ，φ的变化范围为r∈[0,+∞)，θ∈[0, π]， φ∈[0,2π] ，如图1所示。

当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面:r = 常数，即以原点为心的球面；θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z轴的半平面。

Answer 2

球坐标系的三个参数为ρ,θ,φ，它们的范围如下：
1. ρ的取值范围为实数范围，表示点距离原点的距离。
2. θ的取值范围为[0, 2π)或[0, 2π]，表示点在xOy平面上的投影与原点的连线和x轴正方向所成夹角的取值。
3. φ的取值范围为[-π, π]，表示点与原点所成连线和z轴正半轴所成夹角的取值，必须全闭，否则顶点取不到。