Question

数列分组求和

Answer 1

数列分组求和：就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等差（比）数列，进而利用等差数列或等比数列的求和方法分别求和，然后再合并，从而得到该数列的和。

拆成一个等差数列和一个等比数列的和；拆成两个公差不相等的等差数列的和；拆成两个公比不相等的等比数列的和。本例就是将原数列拆成一个以1为首项、2为公差的等差数列和一个以1/2为首项、1/2为公比的等比数列的和，所以只需要将这个等差数列和等比数列分别求和再相加即可。

例子：

an=n+(1/2)^(n-1)，求数列{an}的前n项和Sn。

分组求和法基本过程

设bn=n,cn=(1/2)^(n-1)

则：

{bn}的前n项和=1+2+...+n=n(n+1)/2{cn}的前n项和=1+(1/2)+(1/2)^2+...+(1/2)^(n-1)

=1*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)

=[1-(1/2)^n]*2

{an}的前n项和Sn={bn}的前n项和+{cn}的前n项和=n(n+1)/2+2[1-(1/2)^n]。

(依据：Cn为q=1/2，C1=1，Cn=(1/2)^(n-1)的等比数列，等比数列和Sn=a1*[1-q^n]/(1-q)，应该是Scn=1*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=[1-(1/2)^n]/(1/2)=[1-(1/2)^n]*2才对）。