Question

函数的有界性的问题：函数f(x)=1/x在区间（0,1）内是有界还是无界的？说明理由，谢谢，详细一点。

Answer 1

设函数在区间上有定义，如果存在M，使得对任意X，有f(x)的绝对值小于等于M，则称在区间上有界，否则，称在区间上无界。 这是函数有界性的定义
对于f(x)=1/x 在区间（0，1）上的最大值无法取道，当自变量无限趋近于0时，函数值为:无穷大，无法确定最大值，故无上界
但是当x趋近于1时，此函数有下界
一个函数有界的充要条件是既有上界又有下届界
故此函数无界
解此题要注意定义，依据定义判断

Answer 2

函数f(x)=1/x在开区间（0,1）内没有上界,但是有下界,例如1就是它的下界,由于函数在定义域上有界的充分必要条件是它在定义域上既有上界又有下界,所以该函数f(x)=1/x在开区间（0,1）内是无界的,因为不存在这样的正数M,使-M<=1/x<=M对于一切（0,1）内的x都成立（x接近于0时，不存在确定的正数K，使得1/x<=K成立），但是f(x)=1/x在区间（1，2)内是有界的例如可取M=1而使-1<=1/x<=1对于一切x属于（1，2）都成立~