Question

已知a,b,c是正数且abc=1证明1/a²+1/b²+1/c²≥3？

Answer 1

根据半径与切线的负关系，我们可以证明：
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 ≥ 3
证明过程如下：
首先，将三条切线分别作为圆的半径，并设这个圆的半径为 r，则：
1/a^2 = 1/r^2
1/b^2 = 1/r^2
1/c^2 = 1/r^2
因此，
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 = 3/r^2
从圆的定义中，我们知道所有点到圆心的距离的最小值为半径，也就是说：
a^2 = r^2
b^2 = r^2
c^2 = r^2
故：
a^2 + b^2 + c^2 = 3r^2
将上面两个式子带入：
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 = 3/r^2 = 3/√(a^2 + b^2 + c^2) = 3
故：
1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 ≥ 3
证毕。