Question

数学 对称性问题

为了使抛物线(y+1)^2=x+1上存在两点关于直线y=mx对称，求m的取值范围

要过程

Answer 1

设对称两点为(x1,y1),(x2,y2),则
y1+y2=m(x1+x2) ①
y1-y2=-(x1-x2)/m ②
(y1+1)^2=x1+1 ③
(y2+1)^2=x2+1 ④
①-②得2y2=(m+1/m)x1+(m-1/m)x2
x1=[2y2-(m-1/m)x2]/(m+1/m)=[2my2-(m^2-1)x2]/(m^2+1)
将x2=y2^2+2y2代入上式整理得
x1=[(1-m^2)y2-2(m^2-m-1)y2]/(m^2+1)>=-1
所以(1-m^2)y2-2(m^2-m-1)y2+m^2+1>=0对一切实数y2都成立
所以1-m^2>0，-1<m<1
△=4(m^2-m-1)^2-4(1-m^2)(m^2+1)<=0即m(2m^3-2m^2-m+2)<=0
下面只须解
-1<m<0且2m^3-2m^2-m+2>=0
或0<m<1且2m^3-2m^2-m+2<=0即可。
由于要解三次方程，太麻烦了，略了……
思路就是这样的。