Question

怎么证明极限是存在的？

Answer 1

极限的定义分为四个部分

对任意的ε>0

ε在定义中的作用就是刻画出在x→x0时，f(x)可以无限接近于常数A，也就是∣f(x)-A∣可以任意小。为了达到这一要求，所以ε必须可以足够小。

存在δ>0

δ就是这个邻域的半径，x→x0所能取到的所有点就是（x0-δ，x0）∪（x0，x0+δ），这里x取不到x0.但是这个邻域δ到底有多大、距离x0有多远，我们不知道，也没有必要知道，只要知道δ是很小的一个数就可以啦。

0<∣x-x0∣<δ

自变量x→x0时，再次强调一下，x取不到x0这个点，但是可以取到x0附近和两侧的所有点。这就涉及到邻域的概念，邻域通俗讲就是以点x0为中心的附近和两侧所有点，是一个局部概念。

∣f(x)-A∣<ε

既然ε可以足够小，则f(x)可以无限接近于常数A，也就是f(x)→A，这里需要注意一点，虽然自变量x不能取到x0这个点，但是因变量f(x)是可以取到A的。特别注意函数在一点的极限存不存在和函数在这个点有没有定义没有关系。