Question

一道高二数学填空题

正数数列{an}中，对于任意n∈N*，an是方程(n^2+n)x^2+(n^2+n-1)x-1=0的根，Sn是正数数列{an}的前n项和，则limSn=___
请各位高手写出过程谢谢

Answer 1

(n^2+n)x^2+(n^2+n-1)x-1=0可以写成(n^2+n)（x^2+x）-（x+1）=0，即
(n^2+n)（x+1）x=x+1，an是方程的正根，则x=1/(n^2+n)，也可以写成an=x=1/n-1/(n+1),那么Sn=a1+a2+.......an=1-1/2+1/2-1/3+.....+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)

则limSn=lim{1-1/(n+1)}=1

Answer 2

an是方程(n^2+n)x^2+(n^2+n-1)x-1=0的根 ， 解得 an=1/(n^2+n) 或an=-1(舍)
即an=1/[n*(n+1)] =1/n-1/(n+1)
Sn=a1+a2+a3+....+an
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-.....+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)

limSn=1

Answer 3

(n^2+n)x^2+(n^2+n-1)x-1=0可以写成(n^2+n)（x^2+x）-（x+1）=0，即
(n^2+n)（x+1）x=x+1，an是方程的正根，则x=1/(n^2+n)，也可以写成an=x=1/n-1/(n+1),那么Sn=a1+a2+.......an=1-1/2+1/2-1/3+.....+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)

则limSn=lim{1-1/(n+1)}=1

an是方程(n^2+n)x^2+(n^2+n-1)x-1=0的根 ， 解得 an=1/(n^2+n) 或an=-1(舍)
即an=1/[n*(n+1)] =1/n-1/(n+1)
Sn=a1+a2+a3+....+an
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-.....+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)

limSn=1