Question

高一数学请教

在y轴的正半轴上有一条线段AB，已知A（0，2），B(0,8)，试在x轴的正半轴上求一点P，使得点P对线段AB的张角（角APB）最大

Answer 1

假定已经找到P，过ABP三点可作一圆，我们希望这个圆的半径尽量小，从而对于长度不变的弦AB，它在圆中所对张的圆周角就能尽量大。因为圆心位置一定在AB中垂线上，而P又在x轴上，所以如果此圆与x轴相切，则可达到最小。P有两处(4,0),(-4,0)。

Answer 2

设原点为O,P点坐标为(x,0)

tan(OPB)=8/X,tan(APO)=2/X

APB=OPB-APO

tan(APB)=tan(OPB-APO)=[tan(OPB)-tan(APO)]/{1+tan(OPB)*tan(APO)}
=(8/X-2/x)/[1+(8/x)*(2/x)]
=(6/X)[(X²+16)/X²]=6X/(X²+16)

X²+16≥8X 1/（X²+16）≤1/8X

tan(APB)=6X/(X²+16)≤6/8=0.75
X=4

当P（4，0）时角APB最大，tanAPB=0.75