Question

请教高一数学的问题

过点A（4,0）作直线L交圆O：x²+y²＝4于B、C两点，求线段BC的中点P的轨迹方程。
注意：P点不是固定的一点哦！
希望广大的亲能告诉我作法，请详细点说明。谢谢了！！！

Answer 1

设L：y=k(x-4),B(a,b),C(m,n),P(x,y)
则x=(a+m)/2,y=(b+n)/2
将直线方程与圆的方程联立得x²+k²(x-4)²=4
(1+k²)x²-8k²x+16k²-4=0
a+m=8k²/(1+k²)
b+n=k(a-4)+k(m-4)=k(a+m)-8k=8k/(1+k²)
x=(a+m)/2=4k²/(1+k²)
y=(b+n)/2=4k/(1+k²)
故x/y=k
则y=4k/(1+k²)=(4x/y)/[1+(x/y)²]
y²+x²-4x=0
即(x-2)²+y²=4
所以P的轨迹方程为(x-2)²+y²=4.

Answer 2

(x-2)²+y²=4.

Answer 3

设L为y=k(x-4),代入x²+y²＝4得(k^2+1)x^2-8k^2x+(16k^2-4)=0,设方程两根为x1,x2，P(x0,y0)，则x0=(x1+x2)/2=4k^2/(k^2+1)，代回y=k(x-4)得y0=-4k/(k^2+1)，k=-x0/y0,代回得y0=-x0/y0(x0-4),因此x0^2+y0^2-4x0=0，即(x0-2)^2+y0^2=4

Answer 4

结论是：y²+（x-2）²=4，0≤x≤1

做法：首先假设直线为y=k（x-4），联立圆的方程，用韦达定理解得x1+x2=8k²/(1+k²)
假设P（x，y），其中x=（x1+x2）/2
分情况讨论：
一、k=0，此时y=0，x=0
二、k≠0，此时根据△≥0解得k²≤1/3
故x∈[0,1]
根据y=k(x-4)和x=4k²/(1+k²)得y=-4k/(1+k²)，故x/y=-k，代入直线方程，得到答案