Question

已知a,b,c都为正数，且a+b+c=1,求证：1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2

柯西公式基本结构
（a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn）^2≤（a1^2+ a2^2+a3^2 +…+an^2）(b1^2 +b2^2+b3^2+…+bn^2)
但你们说的柯西不等式 (a+b+b+c+c+a)*(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))这里好像没有平方啊

Answer 1

法一：因为2(a+b+c)=2,所以由Cauchy不等式
[(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)]>=
(1+1+1))^2=9
即2[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)]>=9
所以1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2
法二：
把 a+b+c=1代入1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2
得2a/(b+c)+2b/(a+c)+2c/(a+b)>=3
由对称性不妨设a<=b<=c,则a+b<=a+c<=b+c,1/(b+c)<=1/(a+c)<=1/(a+b),由排序不等式正序和>=乱序和>=逆序和，有
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=b/(b+c)+c/(a+c)+a/(a+b)
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=c/(b+c)+a/(a+c)+b/(a+b)
两式相加得2a/(b+c)+2b/(a+c)+2c/(a+b)>=3
所以原不等式成立。证毕！

Answer 2

由于全部条件对称,所以a=b=c=1/3
所以1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2
2(a+b+c)=2

利用柯西不等式:

(a+b+b+c+c+a)*(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=(1+1+1)^2=9

所以1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2

Answer 3

2(a+b+c)=2

利用柯西不等式:

(a+b+b+c+c+a)*(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=(1+1+1)^2=9

所以1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2

楼上纯粹胡说 不算证明

Answer 4

2楼的对.不过这不是柯西不等式: