Question

已知数列{An}中An=2n/[(根号n^2+n+1)+(根号n^2-n+1)],求它的前n项和Sn

Answer 1

将a(n)分母有理化以后，
a(n)=√(n^2+n+1)-√(n^2-n+1)

可以发现，当x为n+1时，

a(n+1)=√[(n+1)^2+(n+1)+1]-√[(n+1)^2-(n+1)+1]

化简后 a(n+1)=√(n^2+3n+3)-√(n^2+n+1)

可以观察到，a(n+1)里所减的也就是a(n)里所加上的

这样，a(1)里加的和a(2)里减的抵消，a(2)里加的和a(3)里减
的抵消……

所以S(n)最后就剩下a(n)中加上的以及a(1)里减去的

则S(n)=[√(n^2+n+1)]-1

Answer 2

分母有理化,得An=(根号n^2+n+1)-(根号n^2-n+1)
代入n-1,可发现它的首项和An的末项为相反数.
依此类推.
可得Sn=An+An-1+An-2+...A1
相连接的两个项可以舍去,得到Sn=(根号n^2+n+1)-1