已知a,b都是正数，且a+b=1,求证：ax^2+by^2>=(ax+by)^2
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ax^2+by^2-(ax+by)^2=(a-a^2)x^2+(b-b^2)y^2-2abxy
因为
(a-a^2)x^2+(b-b^2)y^2>=2xy√(a-a^2)(b-b^2)
当且仅当x√(a-a^2)=y√(b-b^2)时取等号，上式对于x、y为任意实数均成立。
而(a-a^2)(b-b^2)=ab(1-a)(1-b)
因为a+b=1，所以，(a-a^2)(b-b^2)=ab(1-a)(1-b)=aabb=a^2b^2
2xy√(a-a^2)(b-b^2)=2xy√a^2b^2=2abxy,
可见(a-a^2)x^2+(b-b^2)y^2-2abxy>=0
即ax^2+by^2-(ax+by)^2>=0
即ax^2+by^2>=（ax+by)^2
原命题得证
因为
(a-a^2)x^2+(b-b^2)y^2>=2xy√(a-a^2)(b-b^2)
当且仅当x√(a-a^2)=y√(b-b^2)时取等号，上式对于x、y为任意实数均成立。
而(a-a^2)(b-b^2)=ab(1-a)(1-b)
因为a+b=1，所以，(a-a^2)(b-b^2)=ab(1-a)(1-b)=aabb=a^2b^2
2xy√(a-a^2)(b-b^2)=2xy√a^2b^2=2abxy,
可见(a-a^2)x^2+(b-b^2)y^2-2abxy>=0
即ax^2+by^2-(ax+by)^2>=0
即ax^2+by^2>=（ax+by)^2
原命题得证
参考资料： t32823607
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