在△ABC中,∠B=2∠C,∠BAC的平分线交BC于D,求证:AB+BD=AC.

匿名用户
2014-02-27
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分析1:因为∠B=2∠C,所以AC>AB,可以在AC上取一点E,使得AB=AE,构造△ABD≌△AED,把AB边转移到AE上,BD转移到DE上,要证AB+BD=AC.即可转化为证AE+BD=AE+EC,即证明BD=EC.

  证明:在AC上取一点E,使得AB=AE,连结DE.

  在△ABD和△AED中,AB=AE,∠BAD=∠DAE,AD=AD,

  ∴△ABD≌△AED(SAS).

  ∴ BD=DE,∠B=∠AED.

  又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C,

  ∴ ∠EDC=∠C.

  ∴ ED=EC.

  ∴ AB+BD=AC.

分析2:因为∠B=2∠C,所以AB<AC,可以在AB的延长线上取一点E,使得AE=AC,构造△AED≌△ACD,把AC边转移到AE上,DC转移到DE上,要证AB+BD=AC.即可转化为证AB+BD=AB+BE,即证明BD=BE.

  证明:在AB的延长线上取一点E,使得AC=AE,连结DE.

在△AED和△ACD中,AE=AC,∠BAD=∠DAC,AD=AD,

  ∴ △AED≌△ACD(SAS).∴∠C=∠E.

  又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠BDE,

  ∴ ∠E=∠BDE.∴ BE=BD.

  ∴ AB+BD=AE=AC.

分析3:若延长DB到点E,使得AB=BE,有AB+BD=ED,只要证出ED=AC即可.

  证明:延长DB到点E,使得AB=BE,连结AE,则有∠EAB=∠E,

∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E.

  又∠ABC=2∠C, ∴ ∠E=∠C. ∴ AE=AC.

  又∠EAD=∠EAB+∠BAD=∠E+∠DAC=∠C+ ∠DAC=∠ADE,∴ AE=DE.

  ∴ AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC.
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