Question

求证：a²+b²+c²≥（a+b+c）²/3，急求！！！！！！！！！！！

最好不要用高中的知识....我是初中生

Answer 1

解：
学过平均值不等式吗？
a²+b²+c²≥（a+b+c）²/3等价于
3(a²+b²+c²)≥（a+b+c）²
把右边展开，则等价于
3a²+3b²+3c²≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
即
2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ca
根据平均值不等式
a²+b² ≥ 2ab
b²+c² ≥ 2bc
c²+a² ≥ 2ca
三式相加即证。

Answer 2

因为a²+b²-2ab≥0
同理b²+c²-2bc≥0,a²+c²-2ac≥0
所以2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≥0
所以2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ac
所以3a²+3b²+3c²≥2ab+2bc+2ac+a²+b²+c²[（a+b+c）²=2ab+2bc+2ac+a²+b²+c²这段括号里的内容只是给你解释，不用写这段]
所以3a²+3b²+3c²≥（a+b+c）²
所以a²+b²+c²≥（a+b+c）²/3

Answer 3

欲证a²+b²+c²≥（a+b+c）²/3
需证:3（a²+b²+c²)>=(a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc;
需证:2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc>=0
需证::a^2+b^2-2ab+a^2+c^2-2ac+b^2+c^2-2bc>=0
需证:（a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2≥0;
:（a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2≥0恒成立
即证；
这样可以吗？