Question

已知圆C过A（-2,3），且与直线4x+3y-26=相切于B（5，2） 题如下

Answer 1

1、已知圆C过点A(-2,3),且与直线4x+3y-26=0相切于点B(5,2)，求圆C关于直线X-Y+1=0对称的圆C'的方程

解：直线L：4x+3y-26=0的斜率k=-4/3，L与园C相切于B，故BC⊥L，所以BC所在直线的斜率
k₁=3/4，其方程为y=(3/4)(x-5)+2=(3/4)x-7/4，圆心C在此直线上，因此可设C的坐标为
(m，(3m-7)/4)，园C的方程为(x-m)²+[y-(3m-7)/4]²=R²，其中R满足等式：
R=∣4m+3(3m-7)/4-26∣/5=∣(25/4)m-125/4∣/5=∣(5/4)m-25/4∣
故得R²=(5m-25)²/16...........(1)
点A在园C上，因此其坐标满足园C的方程，即有：
(-2-m)²+[3-(3m-7)/4]²=R²
化简并将(1)式代入得(2+m)²+(-3m+19)²/16=(5m-25)²/16；
由此解得m=1，故R²=25，园C的方程为(x-1)²+(y+1)²=25；园心C(1，-1)；
设与园C关于直线x-y+1=0对称的园的圆心C₁的坐标为(a，b)，则CC₁的中点((a+1)/2，(b-1)/2)
在直线x-y+1=0上，因此有等式：(a+1)/2-(b-1)/2+1=0，化简得a-b=-4..........(2)
又CC₁与该对称轴垂直，故有(b+1)/(a-1)=-1，即有a+b=0..........(3)

追答

1、已知圆C过点A(-2,3),且与直线4x+3y-26=0相切于点B(5,2)，求圆C关于直线X-Y+1=0对称的圆C'的方程

解：直线L：4x+3y-26=0的斜率k=-4/3，L与园C相切于B，故BC⊥L，所以BC所在直线的斜率
k₁=3/4，其方程为y=(3/4)(x-5)+2=(3/4)x-7/4，圆心C在此直线上，因此可设C的坐标为
(m，(3m-7)/4)，园C的方程为(x-m)²+[y-(3m-7)/4]²=R²，其中R满足等式：
R=∣4m+3(3m-7)/4-26∣/5=∣(25/4)m-125/4∣/5=∣(5/4)m-25/4∣
故得R²=(5m-25)²/16...........(1)
点A在园C上，因此其坐标满足园C的方程，即有：
(-2-m)²+[3-(3m-7)/4]²=R²
化简并将(1)式代入得(2+m)²+(-3m+19)²/16=(5m-25)²/16；
由此解得m=1，故R²=25，园C的方程为(x-1)²+(y+1)²=25；园心C(1，-1)；
设与园C关于直线x-y+1=0对称的园的圆心C₁的坐标为(a，b)，则CC₁的中点((a+1)/2，(b-1)/2)
在直线x-y+1=0上，因此有等式：(a+1)/2-(b-1)/2+1=0，化简得a-b=-4..........(2)
又CC₁与该对称轴垂直，故有(b+1)/(a-1)=-1，即有a+b=0..........(3)