Question

1、已知圆C过点A(-2,3),且与直线4x+3y-26=0相切于点B(5,2)

1、已知圆C过点A(-2,3),且与直线4x+3y-26=0相切于点B(5,2)，求圆c关于直线X-Y+1=0对称的圆C'的方程
2、①已知圆C:x^2+y^2-6x-8y+21=0,直线l过定点A(1,0),求圆C的圆心坐标和半径；②若l与圆C相切，求l方程；③若l与圆C相交于PQ两点，求△CPQ面积的最大值，并求此时l的直线方程

Answer 1

1、已知圆C过点A(-2,3),且与直线4x+3y-26=0相切于点B(5,2)，求圆C关于直线X-Y+1=0对称的圆C'的方程

解：直线L：4x+3y-26=0的斜率k=-4/3，L与园C相切于B，故BC⊥L，所以BC所在直线的斜率
k₁=3/4，其方程为y=(3/4)(x-5)+2=(3/4)x-7/4，圆心C在此直线上，因此可设C的坐标为
(m，(3m-7)/4)，园C的方程为(x-m)²+[y-(3m-7)/4]²=R²，其中R满足等式：
R=∣4m+3(3m-7)/4-26∣/5=∣(25/4)m-125/4∣/5=∣(5/4)m-25/4∣
故得R²=(5m-25)²/16...........(1)
点A在园C上，因此其坐标满足园C的方程，即有：
(-2-m)²+[3-(3m-7)/4]²=R²
化简并将(1)式代入得(2+m)²+(-3m+19)²/16=(5m-25)²/16；
由此解得m=1，故R²=25，园C的方程为(x-1)²+(y+1)²=25；园心C(1，-1)；
设与园C关于直线x-y+1=0对称的园的圆心C₁的坐标为(a，b)，则CC₁的中点((a+1)/2，(b-1)/2)
在直线x-y+1=0上，因此有等式：(a+1)/2-(b-1)/2+1=0，化简得a-b=-4..........(2)
又CC₁与该对称轴垂直，故有(b+1)/(a-1)=-1，即有a+b=0..........(3)
(2)+(3)得2a=-4，故a=-2，b=2；
故对称园C₁的方程为(x+2)²+(y-2)²=25.

2、①已知圆C:x²+y²-6x-8y+21=0,直线L过定点A(1,0),求圆C的圆心坐标和半径；②若L与圆C相切，求L的方程；③若L与圆C相交于PQ两点，求△CPQ面积的最大值，并求此时l的直线方程

解：①。(x-3)²+(y-4)²=4，故园C的园心C的坐标为(3，4)；半径R=2.
②。设L的方程为y=k(x-1)，即kx-y-k=0，L与园相切，因此L到圆心C的距离d
d=∣3k-4-k∣/√(1+k²)=∣2k-4∣/√(1+k²)=2
即有∣k-2∣=√(1+k²)，平方去根号得k²-4k+4=1+k²，4k=3，故k=3/4.
即L的方程为y=(3/4)(x-1)，写成一般式就是3x-4y-3=0；
③。将L的方程y=k(x-1)代入园C的方程得x²+k²(x-1)²-6x-8k(x-1)+21=0，展开化简得：
(1+k²)x²-(2k²+8k+6)x+k²+8k+21=0
设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则：
x₁+x₂=(2k²+8k+6)/(1+k²)；
x₁x₂=(k²+8k+21)/(1+k²)；
当△CPQ是正三角形时其面积最大，即当∣PQ∣=2时面积最大。
∣PQ∣=√{(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]}=√{(1+k²)[(2k²+8k+6)²/(1+k²)²-4(k²+8k+21)/(1+k²)]}
=√[(2k²+8k+6)²/(1+k²)-4(k²+8k+21)]=2
(2k²+8k+6)²/(1+k²)-4(k²+8k+21)=4
(2k²+8k+6)²-4(k²+8k+21)(1+k²)=4(1+k²)
展开化简得k²-16k+13=0，解得k=8±√51.
故L的方程为y=(8±√51)(x-1)