设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2最小值
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由柯西不等式知:
[(x-1)²+(y+2)²+(z-3)²](2²+2²+1²)
≥[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]²
=(2x+2y+z-1)²
=(-8-1)²=81
∴(x-1)²+(y+2)²+(z-3)²≥81/(2²+2²+1²)=9
∴最小值为9
[(x-1)²+(y+2)²+(z-3)²](2²+2²+1²)
≥[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]²
=(2x+2y+z-1)²
=(-8-1)²=81
∴(x-1)²+(y+2)²+(z-3)²≥81/(2²+2²+1²)=9
∴最小值为9
追问
可否再帮我求出此时的xyz值
追答
当且仅当(x-1)/2=(y+2)/2=(z-3)/1，即x=2z-5,y=2z-8
∴2x+2y+z+8=4z-10+4z-16+z+8=9z-18=0
∴z=2,x=2z-5=-1,y=2z-8=-4
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