Question

设实数ab满足a²(b²+1)+b(b+2a)=40 a（b+1）+b=8 求1/a²+1/b²的值

此题为全国数学联赛题 还望高人解答 谢谢

Answer 1

只是全国联赛嘛，又不是国际竞赛题：

a²(b²+1)+b(b+2a)=40

a²b²+a²+b²+2ab=40

a²b²+(a+b)²=40 （1）

a（b+1）+b=8
ab+a+b=8；

ab+(a+b)=8；

两边平方得：
a²b²+2ab(a+b)+(a+b)²=64；（2）

（2）-（1）式得：
2ab(a+b)=24；

ab(a+b)=12；
ab+(a+b)=8；

设x=ab；y=a+b；
xy=12；（3）
x+y=8；（4）

由（4）得
y=8-x代入（3）
x(8-x)=12

8x-x²=12

x²-8x+12=0

(x-6)(x-2)=0

x=6或x=2
y=2或y=6

1/a²+1/b²
=(a²+b²)/a²b²
=[(a+b)²-2ab]/a²b²
=[y²-2x]/x²

当x=6；y=2时：
原式=[2²-12]/6²=-8/36=-2/9(舍去，因为1/a²+1/b²>0）；

当x=2；y=6时：
原式=[6²-4]/2²=32/4=8；

所以：1/a²+1/b²=8。
仔细检查一下，看看有没有错误，解题思路是没有问题的。

Answer 2

（ab）²+（a+b）²=40
ab+（a+b）=8
把ab当成一个整体，（a+b）当成一个整体
所以ab（a+b）=（8*8-40）/2=12
所以ab，（a+b）是方程x^2-8x+12=0
故ab=2，a+b=6，（因为ab=6，a+b=2无解）
a，b，是方程x^2-6x+2=0的两根，解出来出来就是了