Question

证明:定义在对称区间(-l,l)上的任意函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和

证明:定义在对称区间(-l,l)上的任意函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和

Answer 1

嗯?怎么还是你啊...呵呵

证明:
设所定义的函数是:f(x),是一个任意函数,在(-1,1)是连续的.那么:有以下表达式:
设:F1(x)=1/2*[f(x)+f(-x)]
F2(x)=1/2*[f(x)-f(-x)]

则有:
f(x)=1/2*[f(x)+f(-x)]+1/2*[f(x)-f(-x)]=F1(x)+F2(x).

很明显,上式是成立的,因为计算出来后两边是相等的.现在我们来分析这个式子.可以看出,式子中加号以前的部分即:F1(x)=1/2*[f(x)+f(-x)]是一个偶函数,因为代入-x后和原式是相等的.
同样,加号以后的部分即:F2(x)是一个奇函数,代入-x后即可以看出来.

所以对于任意一下定义在(-1,1)区间上的函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和.

(事实上,只要函数在定义域是关于0对称的,那么上式一定成立. )

Answer 2

证明：设任意一函数f(x),
则，有f(x)=(1/2)[f(x)-(f-x)]+(1/2)[f(x)+f(-x)]
设g(x)=(1/2)[f(x)-(f-x)],h(x)=(1/2)[f(x)+f(-x)]
则f(x)=g(x)+h(x)
下面证明g(x)是奇函数，h(x)是偶函数
①g(-x)=(1/2)[f(-x)-f(x)]=-(1/2)[f(x)-(f-x)]=-g(x)
即：g(-x)=-g(x),所以g(x)是奇函数
②h(-x)=(1/2)[f(-x)+f(x)]=h(x)
即：h(-x)=h(x),所以h(x)是偶函数
综上：定义为r的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和

Answer 3

设f是任意函数，则令
g（x）=（f（x)+f(-x))/2,h（x）=（f（x)-f(-x))/2
则f=g+h
注意g为偶函数，h为奇函数

Answer 4

第
一个
学生
做
的
是
对
的
解
设f（x）是任意函数，则令
g（x）=（f（x)+f(-x))/2,h（x）=（f（x)-f(-x))/2
则f(x)=g(x)+h(x)
此处g(x)为
偶函数
，h(x)为
奇函数

Answer 5

用逆证法：
你可以假设一个奇函数和一个偶函数，用它们之和来表示一个函数，只要能推出这个函数的定义域为对称区间就行了。