Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=3倍根号3，BC=3,沿对角线BD将三角形BCD折起，使点C移到p点

且p点在平面ABD上的射影O恰在AB上
求点A到平面PBD的距离

Answer 1

PO⊥平面ABD,AB⊥AD,
∴PA⊥AD,
矩形ABCD中，PD=CD=AB=3√3，AD=BC=3，
∴PA=3√2,BD=6，
设PO=h,则√(18-h^2)=3√3-√(9-h^2),
平方，化简得√(9-h^2)=√3，易得h=√6.
∴BO=√3=AB/3.①
作OE⊥BD于E,连PE,作OH⊥PE于H,则PE⊥BD,BD⊥平面POE,
∴平面PBD⊥平面POE,
∴OH⊥平面PBD,
OE=OBsinOBE=OB*AD/BD=√3/2，
PE^2=PO^2+OE^2=6+3/4=27/4，PE=3√3/2，
∴OH=PO*OE/PE=√6/3，
由①，A到平面PBD的距离=3OH=√6.